Las matemáticas en la física cuántica

La presidenta de México Claudia Sheinbaum Pardo ha propuesto al pueblo mexicano convertir al país en una “potencia científica”. Esta trascendente proposición implica, entre otras cosas, reconstruir un sistema educativo nacional pertinente para tal propósito. Y entre otras muchas cosas, conformar un plan y programas educativos de las matemáticas pertinentes. Pero como ya estamos en la “Era Cuántica”, las matemáticas deben de ser concordantes con los requerimientos cuánticos. Por eso, a manera de visualizar lo que el sistema educativo nacional implementará, nos planteamos la siguiente interrogante.

¿Cuáles son las matemáticas requeridas por Física o Mecánica Cuántica?

Las matemáticas de la mecánica cuántica se basan en álgebra lineal, análisis funcional, ecuaciones diferenciales y teoría espectral. 

El álgebra lineal es fundamental en la mecánica cuántica porque permite modelar los estados cuánticos y observables. 

Explicación

El álgebra lineal cuántica es la rama del álgebra lineal que se utiliza en la computación cuántica. 

El álgebra lineal es una rama fundamental de las matemáticas, especialmente en la geometría. 

En la mecánica cuántica, el álgebra lineal describe la estructura matemática de los estados posibles y los operadores que actúan sobre ellos. 

Las álgebras de operadores son fundamentales en la formulación matemática de la mecánica cuántica. 

La mecánica cuántica es una rama de la física que estudia el comportamiento de la materia a nivel microscópico. 

La mecánica cuántica estudia el comportamiento de la materia en el núcleo atómico, el átomo y las moléculas. 

Algunos principios fundamentales de la mecánica cuántica son: 

Cuantización de la energía

Principio de superposición

Dualidad onda-partícula

Entrelazamiento cuántico

Principio de incertidumbre de Heisenberg

Ecuación de Schrödinger

El análisis funcional es una rama de las matemáticas que se usa para formular matemáticamente la mecánica cuántica. En esta rama se estudian los espacios de funciones, como los espacios de Banach y de Hilbert. 

¿Por qué es importante el análisis funcional en mecánica cuántica? 

El análisis funcional es fundamental para la formulación matemática de la mecánica cuántica.

El análisis funcional enseña a tratar las funciones como vectores.

Los espacios de Hilbert son importantes en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y de Hilbert son objetos importantes de estudio en análisis funcional.

¿Qué es el análisis funcional? 

El análisis funcional es la rama de las matemáticas que trata del estudio de espacios de funciones.

El análisis funcional tiene sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como transformación de Fourier.

El análisis funcional también incluye el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales.

Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en la mecánica cuántica porque permiten describir la evolución de las partículas subatómicas. 

Explicación

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que relacionan las derivadas de una función con la propia función. 

Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) son ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas parciales. 

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial que describe la evolución de las partículas subatómicas. 

La ecuación de Schrödinger es fundamental en la teoría de la mecánica cuántica ordinaria. 

Aplicaciones

Las ecuaciones diferenciales son ampliamente usadas en la ingeniería. 

Las EDP son fundamentales en la comprensión científica del calor, el sonido, la difusión, la electrostática, la electrodinámica, la termodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la relatividad general y la mecánica cuántica. 

Las ecuaciones diferenciales permiten describir la forma en que las cosas cambian con el tiempo. 

Las ecuaciones diferenciales ayudan a hacer predicciones y tener en cuenta tanto las condiciones iniciales como la evolución de las variables. 

La teoría espectral es una herramienta fundamental en mecánica cuántica que ayuda a comprender los operadores lineales y los observables. 

¿Qué es la teoría espectral?

Es el estudio de la distribución de los valores del parámetro complejo λ. 

Permite descomponer el espacio sobre el que actúan los operadores lineales en subespacios invariantes. 

Proporciona un marco matemático para comprender el espectro de valores posibles que se pueden observar al medir una cantidad física. 

¿Cómo se aplica en la mecánica cuántica?

Ayuda a entender las características de sistemas cuánticos y la dinámica de estos sistemas a partir de sus operadores lineales. 

Permite comprender el espectro de valores posibles que se pueden observar al medir una cantidad física. 

¿Por qué se llama teoría espectral? 

El nombre de la teoría está inspirado en la relevancia de la teoría en la física atómica.

Heisenberg y otros físicos relacionaron las líneas espectrales vistas con prismas o rejillas con valores propios de ciertos operadores lineales en la mecánica cuántica.

Agradezco a mis lectores