Cuál es la naturaleza de la filosofía de las matemáticas

Filosofía de las Matemáticas es una rama de la filosofía. Empero, ¿Qué es la filosofía? La filosofía es el estudio de una variedad de problemas fundamentales acerca de la realidad, del Ser, de la naturaleza de los Objetos del Saber y del Ser, de la Verdad del Ser y del Conocer. Se diferencia de la ciencia por cuanto su método de estudio no es empírico sino conceptual. Y se distingue del misticismo, del esoterismo y de la religión por cuanto su argumentación no es irracional sino racional, esto es, su argumentación no es dogmática. Por lo tanto, la filosofía de las matemáticas aborda por lo menos las siguientes cuestiones: ¿Cuál es la naturaleza de los objetos del saber y del ser, matemáticos? ¿Cuál es la verdad de los objetos matemáticos y del saber matemático? ¿Qué es lo que hace verdadero a un enunciado matemático? Etc.

Indiscutiblemente que las matemáticas tienen su origen en la vida real de los humanos. Con las actividades del contar y del medir se desarrolló el pensamiento numérico y el pensamiento métrico, dando paso al surgimiento de los primeros números naturales y de las  primeras figuras geométricas. En este sentido las matemáticas son el producto de la actividad física e intelectual de los individuos vivientes en sociedad. Y desde este punto de vista los objetos matemáticos son generalizaciones y abstracciones mentales. Y en cuanto tal, tienen un origen existencial en el tiempo y en el espacio. Sin embargo el pensamiento filosófico ha evolucionado y pasado por diferentes enfoques aunque en algunos casos estos resultan contrapuestos o antagónicos.

En  la relación del sujeto y el objeto aparecen varios cuestionamientos relevantes. El primero es determinar si el objeto es real o ideal; si dicho objeto depende o no del sujeto; si la relación sujeto-objeto es unilateral o bilateral; si dicha relación es unilateral, cuál es el sentido de la unilateralidad; si en la relación sujeto-objeto el objeto es cognoscible o incognoscible; si en dicha relación el sujeto tiene o no, la capacidad para conocer; etc.

A partir de las respuestas a tales cuestiones se pueden clasificar tres grandes enfoques filosóficos: el idealismo, el realismo y el materialismo. El idealismo es el conjunto de las teorías filosóficas que afirman que las ideas son primigenias de la materia. Este conjunto de teorías se subdivide en tres corrientes: el idealismo objetivo, el idealismo subjetivo y el idealismo trascendente.

Para el idealismo objetivo ideas existen por sí mismas, independientes del observador, y sólo las podemos aprender o descubrir mediante la experiencia. Desde esta perspectiva los objetos matemáticos en cuanto abstracciones tienen vida propia y, las actividades de los matemáticos consisten únicamente en descubrir dichas abstracciones a través de la experiencia. Algunos representantes del idealismo objetivo son Platón, Leibniz, Hegel, Bernard Bolzano, Dilthey, etc. Esta es la esencia del platonismo matemático. Para el idealismo subjetivo las ideas sólo existen en la mente del sujeto y no existe un mundo externo autónomo. Representantes de este idealismo son: Descartes, Berkeley, etc. Por su parte el idealismo trascendental establece que todo conocimiento exige la existencia de dos elementos: el primero, externo al sujeto, lo dado, o principio material, esto es, un objeto de conocimiento. El segundo, propio del sujeto lo puesto, o principio formal, que no es más que el sujeto mismo que conoce. Para Kant el conocimiento se compone de tres niveles diferentes y sucesivos. El primero es la sensibilidad, que se encarga de ordenar en el espacio y en el tiempo las impresiones que tiene cada sujeto. Pero espacio y tiempo no preexisten en la realidad, sino que se alojan en nuestra sensibilidad como formas de conocer. En el segundo nivel encontramos el entendimiento, cuya función es organizar estas impresiones a partir de ciertas categorías que nos permiten constituir juicios.  Sin embargo dichas categorías tampoco preexisten en el mundo, más bien son formas para interpretar el mundo. Por último está el nivel de razón, aquí el sujeto coge estos juicios y trata de relacionarlos con la realidad para buscar principios más generales, esto es condiciones incondicionadas. Esta tendencia a buscar principios generales del conocimiento, está marcada por las formas a priori de la razón, es decir, sin intervención de la experiencia. Pero además presupone la existencia de la razón no solo más allá de la experiencia, sino con independencia de ésta.

Kant es quizá el filósofo con mayor influencia en la filosofía de las matemáticas durante el siglo diecinueve y principios del siglo veinte. Sus ideas de la Crítica de la razón pura fijaron en buena medida la agenda de los debates filosófico-matemáticos en dicho período. Algunos nombres de matemáticos que orientaron parte de sus reflexiones bajo la influencia de Kant, ya fuera para aceptar para disentir de él, son: Bolzano, Brouwer, Cantor, Dedekind, Frege, Gauss, Gödel, Hamilton, Helmholtz, Hilbert, Peirce, Poincaré, Riemann y Russell. Hasta aquí la filosofía de las matemáticas es idealista. En fin.